方法附录：条件波动率与动态相关性

本模块采用 Engle 两步估计框架：先逐资产估计 条件波动(1,1) 条件方差，再以标准化残差估计动态条件相关矩阵。输入截面要求同一交易日全部入模资产均有有效收益，以保证每期相关矩阵维度一致。

A.1 单变量条件波动率

令资产 $i$ 的日收益为 $r_{i,t}$，均值方程与冲击分别为：

条件波动(1,1) 条件方差递推为：

其中 $\alpha$ 衡量新冲击进入方差的速度，$\beta$ 衡量历史方差的延续性，$\alpha+\beta$ 越接近 1，波动冲击衰减越慢。模型以极大似然估计参数；得到 $h_{i,t}$ 后，标准化残差为 $z_{i,t}=\varepsilon_{i,t}/\sqrt{h_{i,t}}$。页面中的年化条件波动率按日频折算：

A.2 DCC 动态相关递推

将全部资产的标准化残差写成向量 $z_t$。先递推未标准化相关核 $Q_t$：

$\bar Q$ 是标准化残差的样本相关矩阵。由于 $Q_t$ 的对角线一般不等于 1，需令 $D_{Q,t}=\operatorname{diag}(Q_t)^{1/2}$，再标准化：

于是多资产条件协方差矩阵可由边际波动率与相关矩阵重新组合：

DCC 参数通过相关部分的准似然最小化。忽略与参数无关的常数后，每期目标可写为：

A.3 页面指标如何由模型得到

识别限制：DCC 假设所有资产共享同一组相关动态参数 a、b；结构突变、缺失值处理及厚尾残差都可能影响估计稳定性。因此本页同时展示历史分位和窗口差异，而不只依赖单点相关系数。

方法附录：预测误差方差分解与风险溢出

本模块以收益向量的 VAR 表示为起点，通过 H 步预测误差方差分解（FEVD）度量某一资产冲击对其他资产预测误差的贡献。生产主口径为顺序不敏感的 Pesaran-Shin 广义 FEVD；Cholesky FEVD 仅用于稳健性对照。

B.1 从 VAR 到移动平均表示

对 $N$ 维收益向量 $x_t$ 建立 VAR($p$)：

滞后阶数在 1 至 4 阶内按 AIC 选择。若 VAR 稳定，可递归得到无限阶移动平均系数 $\Phi_h$：

因此 $H$ 步预测误差为 $e_{t+H\mid t}=\sum_{h=0}^{H-1}\Phi_h\varepsilon_{t+H-h}$，其协方差为：

B.2 广义预测误差方差分解

令 $e_i$ 为第 $i$ 个单位向量。资产 $j$ 的一标准差冲击对资产 $i$ 的 $H$ 步预测误差贡献为：

广义冲击并未正交化，所以一行贡献之和未必等于 1。页面计算再做行归一化：

当前实现使用 $H=10$。将对角项置零后得到跨资产溢出矩阵 $S$，其中 $S_{ij}=\widetilde\theta_{ij}$ 表示“资产 $j$ 的冲击被资产 $i$ 接收”的比例。

B.3 总量、方向与净溢出

滚动结果采用 252 日窗口、每 5 个交易日更新。VAR 特征根、残差协方差条件数及正则化标记共同构成稳定性诊断；方向性指标描述统计传导，不构成结构因果识别。

方法附录：条件异方差与联合尾部风险

本模块将“单资产边际厚尾”与“多资产联合尾部”分开估计：先用 尾部风险 与偏斜 t 分布过滤每个资产的条件异方差，再对概率积分变换后的残差拟合 Vine 联动。组合 VaR/ES 与滚动经验风险作为落地指标。

C.1 非对称边际模型

对资产 $i$，令 $\varepsilon_{i,t}=r_{i,t}-\mu_i$，条件方差采用 尾部风险(1,1,1)：

$\gamma>0$ 时，同样大小的负收益比正收益带来更大的下一期方差。标准化残差 $z_{i,t}=\varepsilon_{i,t}/\sqrt{h_{i,t}}$ 服从带自由度 $\nu$ 与偏度 $\xi$ 的偏斜 t 分布。平稳性按标准化偏斜 t 分布的负向二阶矩修正：

C.2 PIT、联动 与尾部依赖

将每个边际残差映射到单位区间：$u_{i,t}=F_i(z_{i,t})$。依据 Sklar 定理，联合分布可写为：

Vine 联动 将高维 C 分解为一系列条件二元 联动。极限下尾与上尾依赖定义如下；页面实际报告的是 q=5% 有限阈值共同命中率，不将其冒充为极限系数：

例如 Student-t 联动 的上下尾对称，$\lambda=2T_{\nu+1}\!\left(-\sqrt{(\nu+1)(1-\rho)/(1+\rho)}\right)$；Clayton 主要刻画下尾，Gumbel/Joe 主要刻画上尾，BB1/BB7 可同时刻画两侧尾部。

C.3 组合 VaR、ES 与生产滚动口径

对权重向量明确的组合收益 $R_{p,t}=w^{\prime}r_t$，设左尾概率 $\alpha=5\%$，$q_\alpha$ 为收益的 $\alpha$ 分位数：

截面 联动 VaR/ES 通过 Vine 模拟联合 U，再经各偏斜 t 边际的逆 PIT 还原收益。页面时序为稳定的生产监控口径：252 日滚动经验分位数，每 21 日采样，并强制补入最新观测日。经验同尾指标为成对尾部共同命中率除以 α 后的平均值。

C.4 极端波动 Guard

对每个资产的一步预测波动率 $\widehat\sigma$，默认阈值为历史条件波动率第 99 分位的 1.5 倍：

当 $\widehat\sigma>\operatorname{cap}$ 时标记为极端；如需修正，仅在模型外应用软上限，不改变原 尾部风险 参数：

解释限制：页面共同命中率是 q=5% 有限阈值概念，有限样本估计对 联动 家族、自由度和窗口长度敏感。VaR 给出分位损失，ES 描述超过 VaR 后的平均损失，两者都不是最大可能损失。

方法附录：SJM 统计跳跃与状态定义

本模块是两状态 Statistical Jump Model。它不直接预测下一期收益，而是把每个资产的风险收益特征分段为相对稳定的牛、熊状态，并以跨资产熊市占比形成系统性预警。生产估计采用因果标准化、252 日初始训练、每 63 日重估、最长 1260 日训练窗。

D.1 输入特征与无前视标准化

对日收益 $r_t$，指数加权均值与下行二阶矩为：

模型使用三个特征：$\mathrm{DD}_{10,t}=\sqrt{d_{10,t}^{2}}$，$\mathrm{Sortino}_{21,t}=\mu_{20,t}/\sqrt{d_{20,t}^{2}}$，$\mathrm{Sortino}_{63,t}=\mu_{60,t}/\sqrt{d_{60,t}^{2}}$。下行波动设有仅由 $t-1$ 及以前历史确定的下限，Sortino 再截断到 $[-5,5]$，避免近零下行方差造成数值爆炸。

每个特征按资产独立标准化，且 t 日只使用截至 t−1 日的扩展样本统计量：

D.2 带跳跃惩罚的最优分段

令 $s_t\in\{0,1\}$ 为状态，$\theta_k$ 为状态 $k$ 的三维特征质心。模型联合最小化状态内距离与状态切换次数：

固定质心后，用动态规划求全局最优状态路径。价值函数递推为：

回溯得到路径后，固定状态更新质心：

两步交替至路径变化不超过容忍值。λ 越大，切换成本越高、状态持续时间越长。每个资产从 {0.25,0.5,1,2,4} 中校准 λ，验证评分为：

D.3 “状态”及表格字段定义

D.4 系统性信号与预警等级

资产权重采用组别平衡：组内每项权重为 $1/n_g$，再在当日有效资产上归一化。令 $b_{i,t}=\mathbf 1\{s_{i,t}\text{ 为熊市}\}$：

识别限制：状态名称由相对质心决定，不是 NBER 式经济周期标签；λ 校准目标偏向约 63 日的中期状态持续性。SJM 应与波动率、相关性、溢出和尾部风险交叉验证。